z^3=i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=i

Вы ввели

 3    
z  = I

$$z^{3} = i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = i^1/3

Получим ответ: z = i^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -I

$$z_{1} = - i$$

           ___
     I   \/ 3 
z2 = - - -----
     2     2  

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

           ___
     I   \/ 3 
z3 = - + -----
     2     2  

$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___         ___
        I   \/ 3    I   \/ 3 
0 - I + - - ----- + - + -----
        2     2     2     2  

$$\left(\left(0 - i\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /      ___\ /      ___\
     |I   \/ 3 | |I   \/ 3 |
1*-I*|- - -----|*|- + -----|
     \2     2  / \2     2  /

$$1 \left(- i\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

I

$$i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - i$$

Численный ответ

z1 = -1.0*i

z2 = -0.866025403784439 + 0.5*i

z3 = 0.866025403784439 + 0.5*i