z^3=i-2 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=i-2

Вы ввели

 3        
z  = I - 2

$$z^{3} = -2 + i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = -2 + i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-2 + i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-2 + i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2+i^1/3

Получим ответ: z = (-2 + i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -2 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -2 + i$$
где
$$r = \sqrt[6]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{5}}{5} \left(-2 + i\right)$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = \frac{\sqrt{5}}{5} \left(-2 + i\right)$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N - \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \sqrt[6]{5} i \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{5}}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5} i}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{5}}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5} i}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \sqrt[6]{5} i \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{5}}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5} i}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{5}}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} - \frac{\sqrt[6]{5} i}{2} \sin{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5} \cos{\left (- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{3} \right )}$$

Быстрый ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

z1 = -1.29207451267 + 0.201294312829*i

z2 = 0.820363244884 + 1.01832219514*i

z3 = 0.471711267789 - 1.21961650797*i