z^3=-2+2i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-2+2i

Вы ввели

 3           
z  = -2 + 2*I

$$z^{3} = -2 + 2 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = -2 + 2 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-2 + 2 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-2 + 2 i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2+2*i^1/3

Получим ответ: z = (-2 + 2*i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -2 + 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -2 + 2 i$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-2 + 2 i\right)}{4}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-2 + 2 i\right)}{4}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 1 + i$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 1 + i$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = 1 + I

$$z_{1} = 1 + i$$

             ___     /        ___\
       1   \/ 3      |  1   \/ 3 |
z2 = - - + ----- + I*|- - - -----|
       2     2       \  2     2  /

$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$

             ___     /        ___\
       1   \/ 3      |  1   \/ 3 |
z3 = - - - ----- + I*|- - + -----|
       2     2       \  2     2  /

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + i \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Численный ответ

z1 = -1.36602540378444 + 0.366025403784439*i

z2 = 0.366025403784439 - 1.36602540378444*i

z3 = 1.0 + 1.0*i