z^3=-2*i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-2*i

Вы ввели

 3       
z  = -2*I

$$z^{3} = - 2 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = - 2 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 2 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^1/3-i^1/3

Получим ответ: z = 2^(1/3)*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 i$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

       3 ___
z1 = I*\/ 2 

$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$

         3 ___   3 ___   ___
       I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
z2 = - ------- - -----------
          2           2     

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

     3 ___   ___     3 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 
z3 = ----------- - -------
          2           2   

$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  3 ___   3 ___   ___   3 ___   ___     3 ___
      3 ___     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3    \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 
0 + I*\/ 2  + - ------- - ----------- + ----------- - -------
                   2           2             2           2   

$$\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right) + \left(0 + \sqrt[3]{2} i\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

          /    3 ___   3 ___   ___\ /3 ___   ___     3 ___\
    3 ___ |  I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 |
1*I*\/ 2 *|- ------- - -----------|*|----------- - -------|
          \     2           2     / \     2           2   /

$$1 \cdot \sqrt[3]{2} i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right)$$

=

-2*I

$$- 2 i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 2 i$$

Численный ответ

z1 = 1.09112363597172 - 0.629960524947437*i

z2 = 1.25992104989487*i

z3 = -1.09112363597172 - 0.629960524947437*i