Дано уравнение z3=−i Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим: 3z3=3−i или z=3−i Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = -i^1/3
Получим ответ: z = (-i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену: w=z тогда ур-ние будет таким: w3=−i Любое комплексное число можно представить так: w=reip подставляем в уравнение r3e3ip=−i где r=1 - модуль комплексного числа Подставляем r: e3ip=−i Используя формулу Эйлера, найдём корни для p isin(3p)+cos(3p)=−i значит cos(3p)=0 и sin(3p)=−1 тогда p=32πN−6π где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для w Значит, решением будет для w: w1=i w2=−23−2i w3=23−2i делаем обратную замену w=z z=w