z^3=-i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=-i

    Виды выражений


    Решение

    Вы ввели [src]
     3     
    z  = -I
    z3=iz^{3} = - i
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z3=iz^{3} = - i
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z33=i3\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- i}
    или
    z=i3z = \sqrt[3]{- i}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -i^1/3

    Получим ответ: z = (-i)^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w3=iw^{3} = - i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=ir^{3} e^{3 i p} = - i
    где
    r=1r = 1
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=ie^{3 i p} = - i
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=ii \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i
    значит
    cos(3p)=0\cos{\left(3 p \right)} = 0
    и
    sin(3p)=1\sin{\left(3 p \right)} = -1
    тогда
    p=2πN3π6p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=iw_{1} = i
    w2=32i2w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
    w3=32i2w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=iz_{1} = i
    z2=32i2z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
    z3=32i2z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = I
    z1=iz_{1} = i
                 ___
           I   \/ 3 
    z2 = - - - -----
           2     2  
    z2=32i2z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
           ___    
         \/ 3    I
    z3 = ----- - -
           2     2
    z3=32i2z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                ___     ___    
          I   \/ 3    \/ 3    I
    I + - - - ----- + ----- - -
          2     2       2     2
    (32i2)+((32i2)+i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + i\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /        ___\ /  ___    \
      |  I   \/ 3 | |\/ 3    I|
    I*|- - - -----|*|----- - -|
      \  2     2  / \  2     2/
    i(32i2)(32i2)i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)
    =
    -I
    i- i
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=iv = i
    Формулы Виета
    z1+z2+z3=pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
    z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
    z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
    z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
    z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
    z1z2z3=iz_{1} z_{2} z_{3} = i
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.866025403784439 - 0.5*i
    z2 = -0.866025403784439 - 0.5*i
    z3 = 1.0*i