z^3=-i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-i

Вы ввели

 3     
z  = -I

$$z^{3} = - i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = - i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -i^1/3

Получим ответ: z = (-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = I

$$z_{1} = i$$

             ___
       I   \/ 3 
z2 = - - - -----
       2     2  

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

       ___    
     \/ 3    I
z3 = ----- - -
       2     2

$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___     ___    
      I   \/ 3    \/ 3    I
I + - - - ----- + ----- - -
      2     2       2     2

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /        ___\ /  ___    \
  |  I   \/ 3 | |\/ 3    I|
I*|- - - -----|*|----- - -|
  \  2     2  / \  2     2/

$$i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)$$

=

-I

$$- i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = i$$

Численный ответ

z1 = 0.866025403784439 - 0.5*i

z2 = -0.866025403784439 - 0.5*i

z3 = 1.0*i