z^3 = - 1 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3 = - 1

Вы ввели

 3     
z  = -1

$$z^{3} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -1^1/3

Получим ответ: z = (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z2 = - - -------
     2      2   

$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z3 = - + -------
     2      2   

$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

z1 = 0.5 + 0.866025403784439*i

z2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

z3 = -1.0

График