z^3=-6 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-6

Вы ввели

 3     
z  = -6

$$z^{3} = -6$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = -6$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-6}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-6}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -6^1/3

Получим ответ: z = (-6)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -6$$
где
$$r = \sqrt[3]{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[3]{6}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{6}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      3 ___
z1 = -\/ 6 

$$z_{1} = - \sqrt[3]{6}$$

     3 ___     3 ___  5/6
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
z2 = ----- - ------------
       2          2      

$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

     3 ___     3 ___  5/6
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
z3 = ----- + ------------
       2          2      

$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          3 ___     3 ___  5/6   3 ___     3 ___  5/6
  3 ___   \/ 6    I*\/ 2 *3      \/ 6    I*\/ 2 *3   
- \/ 6  + ----- - ------------ + ----- + ------------
            2          2           2          2      

$$\left(- \sqrt[3]{6} + \left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /3 ___     3 ___  5/6\ /3 ___     3 ___  5/6\
 3 ___ |\/ 6    I*\/ 2 *3   | |\/ 6    I*\/ 2 *3   |
-\/ 6 *|----- - ------------|*|----- + ------------|
       \  2          2      / \  2          2      /

$$- \sqrt[3]{6} \left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

-6

$$-6$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 6$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 6$$

Численный ответ

z1 = -1.81712059283214

z2 = 0.90856029641607 + 1.57367259513247*i

z3 = 0.90856029641607 - 1.57367259513247*i

График