z^3=-8*i (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3=-8*i
Решение
Подробное решение
$$z^{3} = - 8 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 8 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = -2*i^1/3
Получим ответ: z = 2*(-i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 8 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} - i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$
График
Быстрый ответ
[src]
z1 = 2*I
___ z2 = -I - \/ 3
___ z3 = \/ 3 - I
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ 0 + 2*I + -I - \/ 3 + \/ 3 - I
=
0
произведение
/ ___\ / ___ \ 1*2*I*\-I - \/ 3 /*\\/ 3 - I/
=
-8*I
Теорема Виета
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 8 i$$