Решение уравнений/ Любые/ z^3=-8*i

z^3=-8*i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=-8*i

    Виды выражений

    комплексные числа z^3=-8*i

    Решение

    Вы ввели [src]
     3       
z  = -8*I
    z3=−8iz^{3} = - 8 i
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z3=−8iz^{3} = - 8 i
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1z+0)33=−8i3\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 8 i}
    или
    z=2−i3z = 2 \sqrt[3]{- i}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -2*i^1/3

    Получим ответ: z = 2*(-i)^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w3=−8iw^{3} = - 8 i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=−8ir^{3} e^{3 i p} = - 8 i
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=−ie^{3 i p} = - i
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=−ii \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i
    значит
    cos⁡(3p)=0\cos{\left(3 p \right)} = 0
    и
    sin⁡(3p)=−1\sin{\left(3 p \right)} = -1
    тогда
    p=2πN3−π6p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=2iw_{1} = 2 i
    w2=−3−iw_{2} = - \sqrt{3} - i
    w3=3−iw_{3} = \sqrt{3} - i
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=2iz_{1} = 2 i
    z2=−3−iz_{2} = - \sqrt{3} - i
    z3=3−iz_{3} = \sqrt{3} - i
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = 2*I
    z1=2iz_{1} = 2 i
    Упростить
                ___
z2 = -I - \/ 3
    z2=−3−iz_{2} = - \sqrt{3} - i
    Упростить
           ___    
z3 = \/ 3  - I
    z3=3−iz_{3} = \sqrt{3} - i
    Упростить
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                     ___     ___    
0 + 2*I + -I - \/ 3  + \/ 3  - I
    (3−i)+((−3−i)+(0+2i))\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(- \sqrt{3} - i\right) + \left(0 + 2 i\right)\right)
    =
    0
    00
    произведение
          /       ___\ /  ___    \
1*2*I*\-I - \/ 3 /*\\/ 3  - I/
    1⋅2i(−3−i)(3−i)1 \cdot 2 i \left(- \sqrt{3} - i\right) \left(\sqrt{3} - i\right)
    =
    -8*I
    −8i- 8 i
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=8iv = 8 i
    Формулы Виета
    z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
    z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
    z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
    z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
    z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
    z1z2z3=8iz_{1} z_{2} z_{3} = 8 i
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.73205080756888 - 1.0*i
    z2 = 2.0*i
    z3 = 1.73205080756888 - 1.0*i