z^3=3*i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=3*i

Вы ввели

 3      
z  = 3*I

$$z^{3} = 3 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = 3 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{3 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 3^1/3i^1/3

Получим ответ: z = 3^(1/3)*i^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 3 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 3 i$$
где
$$r = \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[3]{3} i$$
$$w_{2} = - \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{3} i$$
$$z_{2} = - \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

        3 ___
z1 = -I*\/ 3 

$$z_{1} = - \sqrt[3]{3} i$$

        5/6     3 ___
       3      I*\/ 3 
z2 = - ---- + -------
        2        2   

$$z_{2} = - \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$

      5/6     3 ___
     3      I*\/ 3 
z3 = ---- + -------
      2        2   

$$z_{3} = \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               5/6     3 ___    5/6     3 ___
    3 ___     3      I*\/ 3    3      I*\/ 3 
- I*\/ 3  + - ---- + ------- + ---- + -------
               2        2       2        2   

$$\left(- \sqrt[3]{3} i + \left(- \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /   5/6     3 ___\ / 5/6     3 ___\
   3 ___ |  3      I*\/ 3 | |3      I*\/ 3 |
-I*\/ 3 *|- ---- + -------|*|---- + -------|
         \   2        2   / \ 2        2   /

$$- \sqrt[3]{3} i \left(- \frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}\right) \left(\frac{3^{\frac{5}{6}}}{2} + \frac{\sqrt[3]{3} i}{2}\right)$$

=

3*I

$$3 i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - 3 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - 3 i$$

Численный ответ

z1 = -1.24902476648341 + 0.721124785153704*i

z2 = 1.24902476648341 + 0.721124785153704*i

z3 = -1.44224957030741*i