z^3 = 8 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3 = 8

Вы ввели

 3    
z  = 8

$$z^{3} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
или
$$z = 2$$
Получим ответ: z = 2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

z1 = 2

$$z_{1} = 2$$

              ___
z2 = -1 - I*\/ 3 

$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
z3 = -1 + I*\/ 3 

$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$

Численный ответ

z1 = -1.0 + 1.73205080756888*i

z2 = -1.0 - 1.73205080756888*i

z3 = 2.0

График