z^8-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^8-1=0

Вы ввели

 8        
z  - 1 = 0

$$z^{8} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{8} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = 1$$
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

z2 = 1

$$z_{2} = 1$$

z3 = -I

$$z_{3} = - i$$

z4 = I

$$z_{4} = i$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z5 = - ----- - -------
         2        2   

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z6 = - ----- + -------
         2        2   

$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z7 = ----- - -------
       2        2   

$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z8 = ----- + -------
       2        2   

$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
                      \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
0 - 1 + 1 - I + I + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
                        2        2          2        2        2        2        2        2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(-1 + 0\right) + 1\right) - i\right) + i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

            /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
            |  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
1*-1*1*-I*I*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
            \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /

$$i - i 1 \left(-1\right) 1 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

z1 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z2 = 1.0*i

z3 = 1.0

z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z5 = -1.0*i

z6 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z7 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z8 = -1.0

График