Решение уравнений/ Любые/ z^8=1-i

z^8=1-i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^8=1-i

    Решение

    Вы ввели [src]
     8        
z  = 1 - I
    z8=1−iz^{8} = 1 - i
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z8=1−iz^{8} = 1 - i
    Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = 1 - i комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w8=1−iw^{8} = 1 - i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r8e8ip=1−ir^{8} e^{8 i p} = 1 - i
    где
    r=216r = \sqrt[16]{2}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e8ip=2(1−i)2e^{8 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(8p)+cos⁡(8p)=2(1−i)2i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}
    значит
    cos⁡(8p)=22\cos{\left(8 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
    и
    sin⁡(8p)=−22\sin{\left(8 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
    тогда
    p=πN4−π32p = \frac{\pi N}{4} - \frac{\pi}{32}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=−216sin⁡(π32)−216icos⁡(π32)w_{1} = - \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    w2=216sin⁡(π32)+216icos⁡(π32)w_{2} = \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    w3=−216cos⁡(π32)+216isin⁡(π32)w_{3} = - \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    w4=216cos⁡(π32)−216isin⁡(π32)w_{4} = \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    w5=−2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2−2916icos⁡(π32)2−2916isin⁡(π32)2w_{5} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    w6=2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2−2916isin⁡(π32)2+2916icos⁡(π32)2w_{6} = \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    w7=−2916cos⁡(π32)2−2916sin⁡(π32)2−2916icos⁡(π32)2+2916isin⁡(π32)2w_{7} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    w8=−2916cos⁡(π32)2+2916sin⁡(π32)2+2916isin⁡(π32)2+2916icos⁡(π32)2w_{8} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=−216sin⁡(π32)−216icos⁡(π32)z_{1} = - \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    z2=216sin⁡(π32)+216icos⁡(π32)z_{2} = \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    z3=−216cos⁡(π32)+216isin⁡(π32)z_{3} = - \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    z4=216cos⁡(π32)−216isin⁡(π32)z_{4} = \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
    z5=−2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2−2916icos⁡(π32)2−2916isin⁡(π32)2z_{5} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    z6=2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2−2916isin⁡(π32)2+2916icos⁡(π32)2z_{6} = \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    z7=−2916cos⁡(π32)2−2916sin⁡(π32)2−2916icos⁡(π32)2+2916isin⁡(π32)2z_{7} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    z8=−2916cos⁡(π32)2+2916sin⁡(π32)2+2916isin⁡(π32)2+2916icos⁡(π32)2z_{8} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}
    График
    Быстрый ответ [src]
           16___    /pi\     16___    /pi\
z1 = - \/ 2 *sin|--| - I*\/ 2 *cos|--|
                \32/              \32/
    z1=−216sin⁡(π32)−216icos⁡(π32)z_{1} = - \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
         16___    /pi\     16___    /pi\
z2 = \/ 2 *sin|--| + I*\/ 2 *cos|--|
              \32/              \32/
    z2=216sin⁡(π32)+216icos⁡(π32)z_{2} = \sqrt[16]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
           16___    /pi\     16___    /pi\
z3 = - \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
                \32/              \32/
    z3=−216cos⁡(π32)+216isin⁡(π32)z_{3} = - \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
         16___    /pi\     16___    /pi\
z4 = \/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--|
              \32/              \32/
    z4=216cos⁡(π32)−216isin⁡(π32)z_{4} = \sqrt[16]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - \sqrt[16]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}
           /   9/16    /pi\    9/16    /pi\\    9/16    /pi\    9/16    /pi\
       |  2    *cos|--|   2    *sin|--||   2    *cos|--|   2    *sin|--|
       |           \32/            \32/|            \32/            \32/
z5 = I*|- ------------- - -------------| + ------------- - -------------
       \        2               2      /         2               2
    z5=−2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2+i(−2916cos⁡(π32)2−2916sin⁡(π32)2)z_{5} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)
           / 9/16    /pi\    9/16    /pi\\    9/16    /pi\    9/16    /pi\
       |2    *cos|--|   2    *sin|--||   2    *cos|--|   2    *sin|--|
       |         \32/            \32/|            \32/            \32/
z6 = I*|------------- - -------------| + ------------- + -------------
       \      2               2      /         2               2
    z6=2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2+i(−2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2)z_{6} = \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)
           / 9/16    /pi\    9/16    /pi\\    9/16    /pi\    9/16    /pi\
       |2    *sin|--|   2    *cos|--||   2    *cos|--|   2    *sin|--|
       |         \32/            \32/|            \32/            \32/
z7 = I*|------------- - -------------| - ------------- - -------------
       \      2               2      /         2               2
    z7=−2916cos⁡(π32)2−2916sin⁡(π32)2+i(−2916cos⁡(π32)2+2916sin⁡(π32)2)z_{7} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)
           / 9/16    /pi\    9/16    /pi\\    9/16    /pi\    9/16    /pi\
       |2    *cos|--|   2    *sin|--||   2    *sin|--|   2    *cos|--|
       |         \32/            \32/|            \32/            \32/
z8 = I*|------------- + -------------| + ------------- - -------------
       \      2               2      /         2               2
    z8=−2916cos⁡(π32)2+2916sin⁡(π32)2+i(2916sin⁡(π32)2+2916cos⁡(π32)2)z_{8} = - \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{9}{16}} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{9}{16}} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.662480274400119 - 0.807234549989035*i
    z2 = -0.662480274400119 + 0.807234549989035*i
    z3 = 0.807234549989035 + 0.662480274400119*i
    z4 = -0.807234549989035 - 0.662480274400119*i
    z5 = -0.102356729874669 - 1.03924531873597*i
    z6 = 1.03924531873597 - 0.102356729874669*i
    z7 = 0.102356729874669 + 1.03924531873597*i
    z8 = -1.03924531873597 + 0.102356729874669*i