Дифференциальное уравнение 2ydy=dx

Вы ввели

  d                
2*--(y(x))*y(x) = 1
  dx               

$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \frac{1}{2}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x}$$

Ответ

          ________
y(x) = -\/ C1 + x 

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x}$$

         ________
y(x) = \/ C1 + x 

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 1.6687487066069122)

(-5.555555555555555, 2.237620304363832)

(-3.333333333333333, 2.68871102876143)

(-1.1111111111111107, 3.074311198809988)

(1.1111111111111107, 3.416666751717329)

(3.333333333333334, 3.727711641081163)

(5.555555555555557, 4.014729929047095)

(7.777777777777779, 4.282555168695897)

(10.0, 4.534589413101568)