Дифференциальное уравнение 2xy’’=y’
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d
2*x*---(y(x)) = --(y(x))
2 dx
dx
Подробное решение
$$2 x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
получим
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{2}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$- 2 \log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y'.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{x}$$
возьмём эти интегралы
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \sqrt{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$$
Классификация