Дифференциальное уравнение 3y′′−y′=x5

Вы ввели

                 2           
  d             d            
- --(y(x)) + 3*---(y(x)) = x5
  dx             2           
               dx            

$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x_{5}$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$3$$
Получим уравнение:
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{3}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = - \frac{1}{3}$$
$$q = 0$$
$$s = - \frac{x_{5}}{3}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - \frac{k}{3} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = \frac{1}{3}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{\frac{x}{3}}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{3}}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x/3) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{3}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{\frac{x}{3}} = \frac{x_{5}}{3}$$
или
$$e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{3} = \frac{x_{5}}{3}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x_{5}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x_{5} e^{- \frac{x}{3}}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x_{5}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int x_{5} e^{- \frac{x}{3}}\, dx$$
или
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - x x_{5}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - 3 x_{5} e^{- \frac{x}{3}}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{3}}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} + C_{4} e^{\frac{x}{3}} - x x_{5} - 3 x_{5}$$
где C3 и C4 есть константы

Ответ

                x       
                -       
                3       
y(x) = C1 + C2*e  - x*x5

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{\frac{x}{3}} - x x_{5}$$

Классификация

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

nth order reducible

nth linear constant coeff variation of parameters Integral