Дифференциальное уравнение 5y"+3y=0

Вы ввели

             2          
            d           
3*y(x) + 5*---(y(x)) = 0
             2          
           dx           

$$3 y{\left(x \right)} + 5 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$5$$
Получим уравнение:
$$\frac{3 y{\left(x \right)}}{5} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 0$$
$$q = \frac{3}{5}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{3}{5} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \frac{\sqrt{15} i}{5}$$
$$k_{2} = \frac{\sqrt{15} i}{5}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{15} x}{5} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{15} x}{5} \right)}$$

Ответ

             /    ____\         /    ____\
             |x*\/ 15 |         |x*\/ 15 |
y(x) = C1*sin|--------| + C2*cos|--------|
             \   5    /         \   5    /

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{15} x}{5} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{15} x}{5} \right)}$$

Классификация

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary