Дифференциальное уравнение Dy/dt=5ty

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                  
    --(y(t)) = 5*t*y(t)
    dt                 
    ddty(t)=5ty(t)\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 5 t y{\left(t \right)}
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddty(t)=5ty(t)\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 5 t y{\left(t \right)}
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = 0,

    где
    P(t)=5tP{\left(t \right)} = - 5 t
    и
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Это ур-ние с разделяющимися переменными.
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(t)=5tP{\left(t \right)} = - 5 t, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (5t)dt=5t22+Const\int \left(- 5 t\right)\, dt = - \frac{5 t^{2}}{2} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1+5t22y_{1} = e^{C_{1} + \frac{5 t^{2}}{2}}
    y2=eC2+5t22y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{5 t^{2}}{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Ce5t22y = C e^{\frac{5 t^{2}}{2}}
    Ответ [src]
                  2
               5*t 
               ----
                2  
    y(t) = C1*e    
    y(t)=C1e5t22y{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{5 t^{2}}{2}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-10102-1
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (t, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 2.3073715388190148e-12)
    (-5.555555555555555, 1.5198381160761056e-12)
    (-3.333333333333333, 7.323046933331967e-13)
    (-1.1111111111111107, -4.2777238143289766e-13)
    (1.1111111111111107, -3.995313822590841e-12)
    (3.333333333333334, -7.562855263748788e-12)
    (5.555555555555557, -1.0541426981465217e-11)
    (7.777777777777779, -1.0186343871217949e-11)
    (10.0, -9.83126076097068e-12)