Дифференциальное уравнение dy/dt=k(m-y)

Вы ввели

d                      
--(y(t)) = k*(m - y(t))
dt                     

$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(m - y{\left(t \right)}\right)$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(m - y{\left(t \right)}\right)$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = m - y{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$m - y{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{m - y{\left(t \right)}} = k$$
Этим самым мы разделили переменные t и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{m - y{\left(t \right)}} = dt k$$
или
$$\frac{dy}{m - y{\left(t \right)}} = dt k$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{m - y}\, dy = \int k\, dt$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(- m + y \right)} = Const + k t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- k t} + m$$

Ответ

               -k*t
y(t) = m + C1*e    

$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- k t} + m$$

Классификация

separable

1st linear

Bernoulli

almost linear

1st power series

lie group

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

separable Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

nth linear constant coeff variation of parameters Integral