Дифференциальное уравнение dy/dt=k(y-a)
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Решение
Вы ввели
[src]
d --(y(t)) = k*(-a + y(t)) dt
Подробное решение
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(- a + y{\left(t \right)}\right)$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = k$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - a + y{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- a + y{\left(t \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{a - y{\left(t \right)}} = k$$
Этим самым мы разделили переменные t и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{a - y{\left(t \right)}} = dt k$$
или
$$- \frac{dy}{a - y{\left(t \right)}} = dt k$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \left(- \frac{1}{a - y}\right)\, dy = \int k\, dt$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(- a + y \right)} = Const + k t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k t} + a$$
Классификация