Дифференциальное уравнение dy/y=dx

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d           
    --(y(x))    
    dx          
    -------- = 1
      y(x)      
    ddxy(x)y(x)=1\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 1
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddxy(x)y(x)=1\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 1
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

    где
    f1(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
    g1(y)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1
    f2(x)=1\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1
    g2(y)=y(x)\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}
    Приведём ур-ние к виду:
    g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

    Разделим обе части ур-ния на g2(y)
    y(x)y{\left(x \right)}
    получим
    ddxy(x)y(x)=1\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 1
    Этим самым мы разделили переменные x и y.

    Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
    тогда ур-ние будет таким
    dxddxy(x)y(x)=dx\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx
    или
    dyy(x)=dx\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = dx

    Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
    - от левой части интеграл по y,
    - от правой части интеграл по x.
    1ydy=1dx\int \frac{1}{y}\, dy = \int 1\, dx
    Подробное решение интеграла с y
    Подробное решение интеграла с x
    Возьмём эти интегралы
    log(y)=Const+x\log{\left(y \right)} = Const + x
    Подробное решение простого уравнения
    Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
    (Const - это константа)

    Решением будет:
    y1=y(x)=C1ex\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    1st power series
    lie group
    nth linear constant coeff homogeneous
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 6.920861621442101)
    (-5.555555555555555, 63.86442821962763)
    (-3.333333333333333, 589.3291117578204)
    (-1.1111111111111107, 5438.219862266393)
    (1.1111111111111107, 50182.88541495714)
    (3.333333333333334, 463078.36995984113)
    (5.555555555555557, 4273201.4062577095)
    (7.777777777777779, 39432310.90408659)
    (10.0, 363874059.79065424)