Дифференциальное уравнение dy=ysinxdx

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                     
    --(y(x)) = sin(x)*y(x)
    dx                    
    ddxy(x)=y(x)sin(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddxy(x)=y(x)sin(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = 0,

    где
    P(x)=sin(x)P{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}
    и
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Это ур-ние с разделяющимися переменными.
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(x)=sin(x)P{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (sin(x))dx=cos(x)+Const\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = \cos{\left(x \right)} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1cos(x)y_{1} = e^{C_{1} - \cos{\left(x \right)}}
    y2=eC2cos(x)y_{2} = - e^{C_{2} - \cos{\left(x \right)}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cecos(x)y = C e^{- \cos{\left(x \right)}}
    Ответ [src]
               -cos(x)
    y(x) = C1*e       
    y(x)=C1ecos(x)y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \cos{\left(x \right)}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 0.3003268900502265)
    (-5.555555555555555, 0.15358412940509486)
    (-3.333333333333333, 0.8649531492559704)
    (-1.1111111111111107, 0.20795783831000625)
    (1.1111111111111107, 0.20795783131436205)
    (3.333333333333334, 0.86495331979245)
    (5.555555555555557, 0.15358418119226908)
    (7.777777777777779, 0.3003267632929976)
    (10.0, 0.7499997631590405)