Дифференциальное уравнение dx/dt=kx

Вы ввели

d                
--(x(t)) = k*x(t)
dt               

$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k x{\left(t \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k x{\left(t \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = 0,

где
$$P{\left(t \right)} = - k$$
и
и называется линейным неоднородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Это ур-ние с разделяющимися переменными.
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(t \right)} = - k$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- k\right)\, dt = - k t + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = e^{C_{1} + k t}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + k t}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{k t}$$

Ответ

           k*t
x(t) = C1*e   

$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{k t}$$

Классификация

separable

1st exact

1st linear

Bernoulli

almost linear

1st power series

lie group

nth linear constant coeff homogeneous

separable Integral

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral