Дифференциальное уравнение dx/dt=r-kx

Вы ввели

d                    
--(x(t)) = r - k*x(t)
dt                   

$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - k x{\left(t \right)} + r$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - k x{\left(t \right)} + r$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где
$$P{\left(t \right)} = k$$
и
$$Q{\left(t \right)} = r$$
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние

y' + P(x)y = 0

с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(t \right)} = k$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int k\, dt = k t + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = e^{C_{1} - k t}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - k t}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{- k t}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y' + P(x)y = Q(x)

Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = C{\left(t \right)} e^{- k t}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
$$\frac{d}{d t} C{\left(t \right)} = r e^{k t}$$
Зн., C(x) =
$$\int r e^{k t}\, dt = \begin{cases} \frac{r e^{k t}}{k} & \text{for}\: k \neq 0 \\r t & \text{otherwise} \end{cases} + Const$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = C{\left(t \right)} e^{- k t}$$
и получим окончательный ответ для y(x):
$$e^{- k t} \left(\begin{cases} \frac{r e^{k t}}{k} & \text{for}\: k \neq 0 \\r t & \text{otherwise} \end{cases} + Const\right)$$

Ответ

            k*(C1 - t)
       r + e          
x(t) = ---------------
              k       

$$x{\left(t \right)} = \frac{r + e^{k \left(C_{1} - t\right)}}{k}$$

Классификация

separable

1st linear

Bernoulli

almost linear

1st power series

lie group

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

separable Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

nth linear constant coeff variation of parameters Integral