Дифференциальное уравнение dx/dt=x^2

Вы ввели

d           2   
--(x(t)) = x (t)
dt              

$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(x)
$$x^{2}{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)}} = dt$$
или
$$\frac{dx}{x^{2}{\left(t \right)}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{x} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{1}{C_{1} + t}$$

Ответ

        -1   
x(t) = ------
       C1 + t

$$x{\left(t \right)} = - \frac{1}{C_{1} + t}$$

Классификация

separable

1st exact

Bernoulli

Riccati special minus2

separable reduced

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(t, x):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 670386400.3428153)

(-5.555555555555555, 2.17e-322)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.6209072136515877e+180)

(7.777777777777779, 8.388243566958555e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)