Дифференциальное уравнение dx=(1+x)tdt

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                    
    --(x(t)) = t + t*x(t)
    dt                   
    ddtx(t)=tx(t)+t\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = t x{\left(t \right)} + t
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddtx(t)=tx(t)+t\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = t x{\left(t \right)} + t
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = Q(x)

    где
    P(t)=tP{\left(t \right)} = - t
    и
    Q(t)=tQ{\left(t \right)} = t
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние
    y' + P(x)y = 0

    с разделяющимися переменными
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(t)=tP{\left(t \right)} = - t, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (t)dt=t22+Const\int \left(- t\right)\, dt = - \frac{t^{2}}{2} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1+t22y_{1} = e^{C_{1} + \frac{t^{2}}{2}}
    y2=eC2+t22y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{t^{2}}{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cet22y = C e^{\frac{t^{2}}{2}}
    Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
    Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
    y' + P(x)y = Q(x)

    Используем метод вариации произвольной постоянной
    Теперь, считаем, что C - это функция от x

    y=C(t)et22y = C{\left(t \right)} e^{\frac{t^{2}}{2}}
    И подставим в исходное уравнение.
    Воспользовавшись правилами
    - дифференцирования произведения;
    - производной сложной функции,
    находим, что
    ddxC(x)=Q(x)eP(x)dx\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}
    Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
    Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
    ddtC(t)=tet22\frac{d}{d t} C{\left(t \right)} = t e^{- \frac{t^{2}}{2}}
    Зн., C(x) =
    tet22dt=Constet22\int t e^{- \frac{t^{2}}{2}}\, dt = Const - e^{- \frac{t^{2}}{2}}
    Подробное решение интеграла
    подставим C(x) в
    y=C(t)et22y = C{\left(t \right)} e^{\frac{t^{2}}{2}}
    и получим окончательный ответ для y(x):
    et22(Constet22)e^{\frac{t^{2}}{2}} \left(Const - e^{- \frac{t^{2}}{2}}\right)
    Ответ [src]
                     2
                    t 
                    --
                    2 
    x(t) = -1 + C1*e  
    x(t)=C1et221x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t^{2}}{2}} - 1
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (t, x):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, -0.9999999951984996)
    (-5.555555555555555, -0.9999999998438376)
    (-3.333333333333333, -0.9999999999237057)
    (-1.1111111111111107, -1.000000000028515)
    (1.1111111111111107, -1.0000000001919704)
    (3.333333333333334, -1.0000000003009821)
    (5.555555555555557, -1.000000000285645)
    (7.777777777777779, -1.0000000002703082)
    (10.0, -1.0000000002549714)