Дифференциальное уравнение dp/dt=p(1-p)

Вы ввели

d                         
--(p(t)) = (1 - p(t))*p(t)
dt                        

$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(p)*p' = f2(x)*g2(p),

где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(p \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{2}{\left(p \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(p)/g2(p)*p'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(p)
$$\left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и p.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$
или
$$- \frac{dp}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по p,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \left(- \frac{1}{p \left(p - 1\right)}\right)\, dp = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с p
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(p \right)} - \log{\left(p - 1 \right)} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной p.
(Const - это константа)

Решением будет:

p_1 =

$$p{\left(t \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- t} + 1}$$

Ответ

           1     
p(t) = ----------
               -t
       1 + C1*e  

$$p{\left(t \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- t} + 1}$$

Классификация

separable

1st exact

Bernoulli

1st rational riccati

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

Численный ответ

(t, p):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.9651366636504621)

(-5.555555555555555, 0.9961006800202903)

(-3.333333333333333, 0.9995759543574485)

(-1.1111111111111107, 0.9999540274400491)

(1.1111111111111107, 0.9999950205041547)

(3.333333333333334, 0.9999994568996131)

(5.555555555555557, 0.9999999435923286)

(7.777777777777779, 0.9999999932569118)

(10.0, 0.9999999992739433)