Дифференциальное уравнение (2-y)dy=xdx

Вы ввели

  d          d                
2*--(y(x)) - --(y(x))*y(x) = x
  dx         dx               

$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
получим
$$\left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
или
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 2\right) = - dx x$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(y - 2\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2}} + 2$$

Ответ

              _________
             /       2 
y(x) = 2 - \/  C1 - x  

$$y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - x^{2}}$$

              _________
             /       2 
y(x) = 2 + \/  C1 - x  

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2}} + 2$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

linear coefficients

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

linear coefficients Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, -4.408484561136061)

(-5.555555555555555, -6.408228452376534)

(-3.333333333333333, -7.510593752227568)

(-1.1111111111111107, -8.0163834860019)

(1.1111111111111107, -8.01638352832975)

(3.333333333333334, -7.510593717445318)

(5.555555555555557, -6.408228075746743)

(7.777777777777779, -4.408483547006778)

(10.0, 0.7500077709546477)