Дифференциальное уравнение 2xy’y”=(y’)^2

Вы ввели

               2                   2
    d         d          /d       \ 
2*x*--(y(x))*---(y(x)) = |--(y(x))| 
    dx         2         \dx      / 
             dx                     

$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y' \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
получим
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{2}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y'
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- 2 \log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y'.
(Const - это константа)

Решением будет:

y'_1 =

$$\operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{x}$$
возьмём эти интегралы

y1 =

$$\int \frac{d^{0 + 1}}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \sqrt{x}\, dx$$ =

y1 =

$$y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$$

Ответ

                3/2
y(x) = C1 + C2*x   

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} x^{\frac{3}{2}}$$

Классификация

factorable

nth order reducible