Дифференциальное уравнение e^xdx=ydy

Вы ввели

 x   d            
e  = --(y(x))*y(x)
     dx           

$$e^{x} = y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = e^{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx e^{x}$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx e^{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int e^{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + e^{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 e^{x}}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 e^{x}}$$

Ответ

           ___________
          /         x 
y(x) = -\/  C1 + 2*e  

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 e^{x}}$$

          ___________
         /         x 
y(x) = \/  C1 + 2*e  

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 e^{x}}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.7504979790069299)

(-5.555555555555555, 0.7550771199576364)

(-3.333333333333333, 0.7960890777107407)

(-1.1111111111111107, 1.1048962244866396)

(1.1111111111111107, 2.576407179881404)

(3.333333333333334, 7.525002390820645)

(5.555555555555557, 22.75749718695566)

(7.777777777777779, 69.09769615021494)

(10.0, 209.8892441918803)