Дифференциальное уравнение 1+y^2=xyy’

Вы ввели

     2        d            
1 + y (x) = x*--(y(x))*y(x)
              dx           

$$y^{2}{\left(x \right)} + 1 = x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$

Ответ

           ____________
          /          2 
y(x) = -\/  -1 + C1*x  

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$

          ____________
         /          2 
y(x) = \/  -1 + C1*x  

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

almost linear

separable reduced

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 4.017386307543671e-09)

(-5.555555555555555, 2.17e-322)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 5.053469689933519e-38)

(7.777777777777779, 8.388243566958623e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)