Дифференциальное уравнение sen(x)dx+ydy=0

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                         
    --(y(x))*y(x) + sin(x) = 0
    dx                        
    y(x)ddxy(x)+sin(x)=0y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    y(x)ddxy(x)+sin(x)=0y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

    где
    f1(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
    g1(y)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1
    f2(x)=sin(x)\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}
    g2(y)=1y(x)\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}
    Приведём ур-ние к виду:
    g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

    Разделим обе части ур-ния на g2(y)
    1y(x)\frac{1}{y{\left(x \right)}}
    получим
    y(x)ddxy(x)=sin(x)y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}
    Этим самым мы разделили переменные x и y.

    Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
    тогда ур-ние будет таким
    dxy(x)ddxy(x)=dxsin(x)dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(x \right)}
    или
    dyy(x)=dxsin(x)dy y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(x \right)}

    Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
    - от левой части интеграл по y,
    - от правой части интеграл по x.
    ydy=(sin(x))dx\int y\, dy = \int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx
    Подробное решение интеграла с y
    Подробное решение интеграла с x
    Возьмём эти интегралы
    y22=Const+cos(x)\frac{y^{2}}{2} = Const + \cos{\left(x \right)}
    Подробное решение простого уравнения
    Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
    (Const - это константа)

    Решением будет:
    y1=y(x)=C1+2cos(x)\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \cos{\left(x \right)}}
    y2=y(x)=C1+2cos(x)\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \cos{\left(x \right)}}
    Ответ [src]
              _______________
    y(x) = -\/ C1 + 2*cos(x) 
    y(x)=C1+2cos(x)y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \cos{\left(x \right)}}
             _______________
    y(x) = \/ C1 + 2*cos(x) 
    y(x)=C1+2cos(x)y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \cos{\left(x \right)}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-1010-1e2531e253
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 1.5469011421326235)
    (-5.555555555555555, 1.9323946393858011)
    (-3.333333333333333, 0.5265889143350065)
    (-1.1111111111111107, 1.7686083810709083)
    (1.1111111111111107, 1.76860843402213)
    (3.333333333333334, 0.5265893189545253)
    (5.555555555555557, 1.9323949824690432)
    (7.777777777777779, 1.5469017504106815)
    (10.0, 0.7500012204048204)