Дифференциальное уравнение y²dx+xdy=0

Вы ввели

 2        d           
y (x) + x*--(y(x)) = 0
          dx          

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$

Ответ

           -1     
y(x) = -----------
       C1 - log(x)

$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

1st rational riccati

separable reduced

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.9241983802560794)

(-5.555555555555555, 1.3412983454138823)

(-3.333333333333333, 4.260388226542707)

(-1.1111111111111107, 22919041.739723027)

(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)

(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)

(5.555555555555557, 5.990627014160885e-66)

(7.777777777777779, 8.388243571810325e+296)

(10.0, 7.787759276981142e-308)