Дифференциальное уравнение y′′−5y′+6y=0

Вы ввели

                          2          
    d                    d           
- 5*--(y(x)) + 6*y(x) + ---(y(x)) = 0
    dx                    2          
                        dx           

$$6 y{\left(x \right)} - 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$6 y{\left(x \right)} - 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = -5$$
$$q = 6$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - 5 k + 6 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = 2$$
$$k_{2} = 3$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}$$

Ответ

       /         x\  2*x
y(x) = \C1 + C2*e /*e   

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{x}\right) e^{2 x}$$

Классификация

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary