Дифференциальное уравнение y′′−8y′+16y=0

Вы ввели

                           2          
    d                     d           
- 8*--(y(x)) + 16*y(x) + ---(y(x)) = 0
    dx                     2          
                         dx           

$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = -8$$
$$q = 16$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - 8 k + 16 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = 4$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $$k_{1} = 4$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{4 x} + C_{2} x e^{4 x}$$

Ответ

                    4*x
y(x) = (C1 + C2*x)*e   

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{4 x}$$

Классификация

factorable

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary