Дифференциальное уравнение ydy+dx=2dy

Вы ввели

    d                 d       
1 + --(y(x))*y(x) = 2*--(y(x))
    dx                dx      

$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
получим
$$\left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx$$
или
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 2\right) = - dx$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(y - 2\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = Const - x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - 2 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x} + 2$$

Ответ

             __________
y(x) = 2 - \/ C1 - 2*x 

$$y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - 2 x}$$

             __________
y(x) = 2 + \/ C1 - 2*x 

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x} + 2$$

Классификация

separable

1st exact

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 1.9999999910815043)

(-5.555555555555555, 2.17e-322)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.6209072136515877e+180)

(7.777777777777779, 8.388243571809644e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)