Дифференциальное уравнение ydy=(x+2)dx

Вы ввели

d                    
--(y(x))*y(x) = 2 + x
dx                   

$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + 2$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + 2$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - x - 2$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - 2$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 2\right)$$
или
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 2\right)$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- x - 2\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} - 2 x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2} + 4 x}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2} + 4 x}$$

Ответ

           _______________
          /       2       
y(x) = -\/  C1 + x  + 4*x 

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2} + 4 x}$$

          _______________
         /       2       
y(x) = \/  C1 + x  + 4*x 

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2} + 4 x}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

linear coefficients

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

linear coefficients Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 3.2237338125701707e-09)

(-5.555555555555555, 1.2971870140663e-311)

(-3.333333333333333, 0.0)

(-1.1111111111111107, 1.6296927677143e-311)

(1.1111111111111107, 4.2344850407873997e-308)

(3.333333333333334, 7.467041711590195e-301)

(5.555555555555557, 7.645301432790733e-297)

(7.777777777777779, 7.940786637823388e-301)

(10.0, 4.227979908461851e-307)