Дифференциальное уравнение ydy=x^2dx

Вы ввели

d                2
--(y(x))*y(x) = x 
dx                

$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{2}$$
или
$$- dy y{\left(x \right)} = - dx x^{2}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{3}}{3}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

Ответ

           ___________ 
          /         3  
       -\/  C1 + 6*x   
y(x) = ----------------
              3        

$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

          ___________
         /         3 
       \/  C1 + 6*x  
y(x) = --------------
             3       

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 18.80312450778007)

(-5.555555555555555, 23.51419489165043)

(-3.333333333333333, 25.34833056171891)

(-1.1111111111111107, 25.813072965398685)

(1.1111111111111107, 25.848476332033055)

(3.333333333333334, 26.304384246525156)

(5.555555555555557, 27.95605832269472)

(7.777777777777779, 31.319339694320053)

(10.0, 36.52254009012166)