Дифференциальное уравнение y''-3y'+2y=e^3x(3-4x)

Вы ввели

                          2                       
    d                    d                       3
- 3*--(y(x)) + 2*y(x) + ---(y(x)) = x*(3 - 4*x)*e 
    dx                    2                       
                        dx                        

$$2 y{\left(x \right)} - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = -3$$
$$q = 2$$
$$s = - x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - 3 k + 2 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = 1$$
$$k_{2} = 2$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$
или
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = x \left(3 - 4 x\right) e^{3}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 4 x^{2} e^{3} e^{- x} - 3 x e^{3} e^{- x}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - 4 x^{2} e^{3} e^{- 2 x} + 3 x e^{3} e^{- 2 x}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(4 x^{2} e^{3} e^{- x} - 3 x e^{3} e^{- x}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 4 x^{2} e^{3} e^{- 2 x} + 3 x e^{3} e^{- 2 x}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \left(- 4 x^{2} e^{3} - 5 x e^{3} - 5 e^{3}\right) e^{- x}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(8 x^{2} e^{3} + 2 x e^{3} + e^{3}\right) e^{- 2 x}}{4}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} + C_{4} e^{2 x} - 2 x^{2} e^{3} - \frac{9 x e^{3}}{2} - \frac{19 e^{3}}{4}$$
где C3 и C4 есть константы

Ответ

             3                                    3
         19*e        x       2*x      2  3   9*x*e 
y(x) = - ----- + C1*e  + C2*e    - 2*x *e  - ------
           4                                   2   

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} - 2 x^{2} e^{3} - \frac{9 x e^{3}}{2} - \frac{19 e^{3}}{4}$$

Классификация

factorable

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

nth linear constant coeff variation of parameters Integral