Дифференциальное уравнение ylny+xy’=0

Вы ввели

  d                            
x*--(y(x)) + log(y(x))*y(x) = 0
  dx                           

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{x}}$$

Ответ

        C1
        --
        x 
y(x) = e  

$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{x}}$$

Классификация

separable

1st exact

separable reduced

lie group

separable Integral

1st exact Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.6908192813300311)

(-5.555555555555555, 0.5958133031715364)

(-3.333333333333333, 0.4218748991197924)

(-1.1111111111111107, 0.07508464091707924)

(1.1111111111111107, nan)

(3.333333333333334, nan)

(5.555555555555557, nan)

(7.777777777777779, nan)

(10.0, nan)