Дифференциальное уравнение y``-2y`-8y=0

Вы ввели

                         2          
            d           d           
-8*y(x) - 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
            dx           2          
                       dx           

$$- 8 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 8 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = -2$$
$$q = -8$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - 2 k - 8 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 4$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{4 x}$$

Ответ

           -2*x       4*x
y(x) = C1*e     + C2*e   

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{4 x}$$

Классификация

factorable

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary