Дифференциальное уравнение (y-5)dy=dx

Вы ввели

    d          d                
- 5*--(y(x)) + --(y(x))*y(x) = 1
    dx         dx               

$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 5}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 5}$$
получим
$$\left(y{\left(x \right)} - 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
или
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 5\right) = dx$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(y - 5\right)\, dy = \int 1\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = Const + x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 5 - \sqrt{C_{1} + 2 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x} + 5$$

Ответ

             __________
y(x) = 5 - \/ C1 + 2*x 

$$y{\left(x \right)} = 5 - \sqrt{C_{1} + 2 x}$$

             __________
y(x) = 5 + \/ C1 + 2*x 

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x} + 5$$

Классификация

separable

1st exact

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.2558515859171198)

(-5.555555555555555, -0.19147266863800858)

(-3.333333333333333, -0.6031984609056193)

(-1.1111111111111107, -0.9866749984752955)

(1.1111111111111107, -1.3470246621374864)

(3.333333333333334, -1.6879867354047848)

(5.555555555555557, -2.0123898335817754)

(7.777777777777779, -2.32243509440822)

(10.0, -2.619875340648084)