Дифференциальное уравнение y’-xy^2=0

Вы ввели

     2      d           
- x*y (x) + --(y(x)) = 0
            dx          

$$- x y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = x$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx x$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx x$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{y} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + x^{2}}$$

Ответ

         -2   
y(x) = -------
             2
       C1 + x 

$$y{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + x^{2}}$$

Классификация

separable

1st exact

Bernoulli

1st rational riccati

separable reduced

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.04742386923703514)

(-5.555555555555555, 0.027854178961109338)

(-3.333333333333333, 0.021844641978500088)

(-1.1111111111111107, 0.019717604779639818)

(1.1111111111111107, 0.01971760013669112)

(3.333333333333334, 0.021844660483912023)

(5.555555555555557, 0.027854246358438573)

(7.777777777777779, 0.04742418865917185)

(10.0, 0.7500952483622881)