Дифференциальное уравнение y(1+lny)+xy’=0

Вы ввели

  d                                  
x*--(y(x)) + (1 + log(y(x)))*y(x) = 0
  dx                                 

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \left(- \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \left(- \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y \left(\log{\left(y \right)} + 1\right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{x} - 1}$$

Ответ

             C1
        -1 + --
             x 
y(x) = e       

$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{x} - 1}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

separable reduced

lie group

separable Integral

1st exact Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.9192818122254114)

(-5.555555555555555, 1.3260077142962265)

(-3.333333333333333, 3.1172618467817843)

(-1.1111111111111107, 223.82547430515268)

(1.1111111111111107, 6.448835278557188e+33)

(3.333333333333334, 6.90749349267596e-310)

(5.555555555555557, 1.0455593969878644e+183)

(7.777777777777779, 6.90749349260166e-310)

(10.0, 6.9074934926807e-310)