Дифференциальное уравнение y’’+16y’+64y=0

Вы ввели

                          2          
   d                     d           
16*--(y(x)) + 64*y(x) + ---(y(x)) = 0
   dx                     2          
                        dx           

$$64 y{\left(x \right)} + 16 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$64 y{\left(x \right)} + 16 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 16$$
$$q = 64$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 16 k + 64 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = -8$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Подставляем $$k_{1} = -8$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 8 x} + C_{2} x e^{- 8 x}$$

Ответ

                    -8*x
y(x) = (C1 + C2*x)*e    

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- 8 x}$$

Классификация

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary