Дифференциальное уравнение y’+2xy=0

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
               d           
    2*x*y(x) + --(y(x)) = 0
               dx          
    2xy(x)+ddxy(x)=02 x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    2xy(x)+ddxy(x)=02 x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = 0,

    где
    P(x)=2xP{\left(x \right)} = 2 x
    и
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Это ур-ние с разделяющимися переменными.
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(x)=2xP{\left(x \right)} = 2 x, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = 2xdx=x2+Const\int 2 x\, dx = x^{2} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1x2y_{1} = e^{C_{1} - x^{2}}
    y2=eC2x2y_{2} = - e^{C_{2} - x^{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cex2y = C e^{- x^{2}}
    Ответ [src]
                 2
               -x 
    y(x) = C1*e   
    y(x)=C1ex2y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x^{2}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-1010-1e441e44
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 1.0773936286226101e+17)
    (-5.555555555555555, 7.94985510722496e+29)
    (-3.333333333333333, 3.0131152349066737e+38)
    (-1.1111111111111107, 5.866025543073418e+42)
    (1.1111111111111107, 5.866025376158789e+42)
    (3.333333333333334, 3.013115151579227e+38)
    (5.555555555555557, 7.949860362436142e+29)
    (7.777777777777779, 1.077395644950473e+17)
    (10.0, 0.7500027157009161)