Дифференциальное уравнение y’’+4y’-5y=0

Вы ввели

                         2          
            d           d           
-5*y(x) + 4*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
            dx           2          
                       dx           

$$- 5 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 5 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 4$$
$$q = -5$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 4 k - 5 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -5$$
$$k_{2} = 1$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 5 x} + C_{2} e^{x}$$

Ответ

           -5*x       x
y(x) = C1*e     + C2*e 

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 5 x} + C_{2} e^{x}$$

Классификация

factorable

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary