Дано уравнение: 4y(x)+dx2d2y(x)=4sin(x) Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = s,
где p=0 q=4 s=−4sin(x) Называется линейным неоднородным дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить это ур-ние не представляет особой сложности Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния q+(k2+kp)=0 В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид: k2+4=0 Подробное решение простого уравнения - это простое квадратное ур-ние Корни этого ур-ния: k1=−2i k2=2i Т.к. характ. ур-ние имеет два корня, и корни имеют чисто мнимый вид, то решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид: y(x)=C1sin(x∣k1∣)+C2cos(x∣k2∣) y(x)=C1sin(2x)+C2cos(2x)
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y'' + p*y' + q*y = s
Используем метод вариации произвольной постоянной Считаем, что C1 и C2 - это функции от x
И общим решением будет: y(x)=C1(x)sin(2x)+C2(x)cos(2x) где C1(x) и C2(x) согласно методу вариации постоянных найдём из системы: y1(x)dxdC1(x)+y2(x)dxdC2(x)=0 dxdC1(x)dxdy1(x)+dxdC2(x)dxdy2(x)=f(x) где y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ, y1(x) = sin(2*x) (C1=1, C2=0), y2(x) = cos(2*x) (C1=0, C2=1). А свободный член f = - s, или f(x)=4sin(x) Значит, система примет вид: sin(2x)dxdC1(x)+cos(2x)dxdC2(x)=0 dxdC1(x)dxdsin(2x)+dxdC2(x)dxdcos(2x)=4sin(x) или sin(2x)dxdC1(x)+cos(2x)dxdC2(x)=0 −2sin(2x)dxdC2(x)+2cos(2x)dxdC1(x)=4sin(x) Решаем эту систему: dxdC1(x)=2sin(x)cos(2x) dxdC2(x)=−2sin(x)sin(2x) - это простые дифф. ур-ния, решаем их C1(x)=C3+∫2sin(x)cos(2x)dx C2(x)=C4+∫(−2sin(x)sin(2x))dx или C1(x)=C3+34sin(x)sin(2x)+32cos(x)cos(2x) C2(x)=C4+34sin(x)cos(2x)−32sin(2x)cos(x) Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в y(x)=C1(x)sin(2x)+C2(x)cos(2x) Получаем окончательный ответ: y(x)=C3sin(2x)+C4cos(2x)+34sin(x)sin2(2x)+34sin(x)cos2(2x) где C3 и C4 есть константы