Дифференциальное уравнение y"+4y=4sinx

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
               2                 
              d                  
    4*y(x) + ---(y(x)) = 4*sin(x)
               2                 
             dx                  
    4y(x)+d2dx2y(x)=4sin(x)4 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)}
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    4y(x)+d2dx2y(x)=4sin(x)4 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)}
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y'' + p*y' + q*y = s,

    где
    p=0p = 0
    q=4q = 4
    s=4sin(x)s = - 4 \sin{\left(x \right)}
    Называется линейным неоднородным
    дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
    Решить это ур-ние не представляет особой сложности
    Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
    y'' + p*y' + q*y = 0

    Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
    q+(k2+kp)=0q + \left(k^{2} + k p\right) = 0
    В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
    k2+4=0k^{2} + 4 = 0
    Подробное решение простого уравнения
    - это простое квадратное ур-ние
    Корни этого ур-ния:
    k1=2ik_{1} = - 2 i
    k2=2ik_{2} = 2 i
    Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
    и корни имеют чисто мнимый вид, то
    решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
    y(x)=C1sin(xk1)+C2cos(xk2)y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}
    y(x)=C1sin(2x)+C2cos(2x)y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}

    Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
    Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
    y'' + p*y' + q*y = s

    Используем метод вариации произвольной постоянной
    Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

    И общим решением будет:
    y(x)=C1(x)sin(2x)+C2(x)cos(2x)y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
    где C1(x) и C2(x)
    согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
    y1(x)ddxC1(x)+y2(x)ddxC2(x)=0\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0
    ddxC1(x)ddxy1(x)+ddxC2(x)ddxy2(x)=f(x)\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}
    где
    y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
    y1(x) = sin(2*x) (C1=1, C2=0),
    y2(x) = cos(2*x) (C1=0, C2=1).
    А свободный член f = - s, или
    f(x)=4sin(x)f{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)}
    Значит, система примет вид:
    sin(2x)ddxC1(x)+cos(2x)ddxC2(x)=0\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0
    ddxC1(x)ddxsin(2x)+ddxC2(x)ddxcos(2x)=4sin(x)\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)}
    или
    sin(2x)ddxC1(x)+cos(2x)ddxC2(x)=0\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0
    2sin(2x)ddxC2(x)+2cos(2x)ddxC1(x)=4sin(x)- 2 \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)}
    Решаем эту систему:
    ddxC1(x)=2sin(x)cos(2x)\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
    ddxC2(x)=2sin(x)sin(2x)\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}
    - это простые дифф. ур-ния, решаем их
    C1(x)=C3+2sin(x)cos(2x)dx\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx
    C2(x)=C4+(2sin(x)sin(2x))dx\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx
    или
    C1(x)=C3+4sin(x)sin(2x)3+2cos(x)cos(2x)3\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3}
    C2(x)=C4+4sin(x)cos(2x)32sin(2x)cos(x)3\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}
    Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
    y(x)=C1(x)sin(2x)+C2(x)cos(2x)y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
    Получаем окончательный ответ:
    y(x)=C3sin(2x)+C4cos(2x)+4sin(x)sin2(2x)3+4sin(x)cos2(2x)3y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(2 x \right)} + C_{4} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{3}
    где C3 и C4 есть константы
    Ответ [src]
           4*sin(x)                            
    y(x) = -------- + C1*sin(2*x) + C2*cos(2*x)
              3                                
    y(x)=C1sin(2x)+C2cos(2x)+4sin(x)3y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3}
    Классификация
    nth linear constant coeff undetermined coefficients
    nth linear constant coeff variation of parameters
    nth linear constant coeff variation of parameters Integral