Дифференциальное уравнение (y+1)dy=xdx

Вы ввели

d               d           
--(y(x))*y(x) + --(y(x)) = x
dx              dx          

$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} + 1}$$
получим
$$\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right) = dx x$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(y + 1\right)\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} + y = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}} - 1$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}} - 1$$

Ответ

               _________
              /       2 
y(x) = -1 - \/  C1 + x  

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}} - 1$$

               _________
              /       2 
y(x) = -1 + \/  C1 + x  

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}} - 1$$

Классификация

separable

1st exact

linear coefficients

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

linear coefficients Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, -0.9999999830517466)

(-5.555555555555555, 2.17e-322)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 7.710982803243284e-43)

(7.777777777777779, 8.388243571810695e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)