Дифференциальное уравнение −y′′+y′=2x

Вы ввели

    2                       
   d          d             
- ---(y(x)) + --(y(x)) = 2*x
    2         dx            
  dx                        

$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$-1$$
Получим уравнение:
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 2 x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = -1$$
$$q = 0$$
$$s = 2 x$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - k = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = 1$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = - 2 x$$
Значит, система примет вид:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = - 2 x$$
или
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 2 x$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x e^{- x}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int 2 x\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 2 x e^{- x}\right)\, dx$$
или
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + x^{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \left(2 x + 2\right) e^{- x}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} + C_{4} e^{x} + x^{2} + 2 x + 2$$
где C3 и C4 есть константы

Ответ

             2             x
y(x) = C1 + x  + 2*x + C2*e 

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{x} + x^{2} + 2 x$$

Классификация

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

nth order reducible

nth linear constant coeff variation of parameters Integral