Дифференциальное уравнение y"=arctg(x)

Вы ввели

  2                
 d                 
---(y(x)) = atan(x)
  2                
dx                 

$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
y'' = $$\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение вида:

y'' = f(x)

Оно решается умножением обеих частей ур-ния на dx:

y''dx = f(x)dx, или

d(y') = f(x)dx

И взятием от обеих частей ур-ния интегралов:

∫ d(y') = ∫ f(x) dx

или

y' = ∫ f(x) dx

В нашем случае,
f(x) = $$\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
y' = $$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$ + C1
где C1 - это постоянная, не зависящая от x.

Повторяем ещё раз:

∫ dy =

Значит, решением будет
y = $$\int \left(C_{1} + x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла
или
y = $$C_{1} x + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$ + C2
где C2 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

                        /        /     2\\    2        
            atan(x)     |     log\1 + x /|   x *atan(x)
y(x) = C1 - ------- + x*|C2 - -----------| + ----------
               2        \          2     /       2     

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + x \left(C_{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

Классификация

nth algebraic

nth linear constant coeff variation of parameters

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters

nth algebraic Integral

nth linear constant coeff variation of parameters Integral

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral